Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) с выводом

В статье рассмотрена модель идеального газа, приведено основное уравнение молекулярно-кинетической теории и его вывод.

Чтобы объяснить свойства материи в газообразном состоянии, в физике применяется модель идеального газа. Идеальный газ - разреженный, состоящий из одного типа атомов газ, частицы которого не взаимодействуют между собой. Помимо основных положений МКТ эта модель предполагает, что:

  • молекулы имеют пренебрежимо малый объем в сравнении с объемом емкости
  • при сближении частиц друг с другом и с границами емкости имеют место силы отталкивания

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Физический смысл основного уравнения МКТ заключается в том, что давление идеального газа - это совокупность всех ударов молекул о стенки сосуда. Это уравнение можно выразить через концентрацию частиц, их среднюю скорость и массу одной частицы:

Основное уравнение МКТ

p – давление молекул газа на границы емкости,

m0 – масса одной молекулы,

n - концентрация молекул, число частиц N в единице объема V;

v2 - средне квадратичная скорость молекул.

Вывод основного уравнения МКТ

Столкновение молекулы со стенкой сосуда

Частицы идеального газа при соударениях с границами емкости ведут себя как упругие тела. Такое взаимодействие описывается согласно законам механики. При соприкосновении частицы с границей емкости проекция vx скоростного вектора на ось ОХ, проходящую под прямым углом к границе сосуда, меняет свой знак на противоположный, но сохраняется неизменной по модулю:

Поэтому после соударения частицы с границей емкости проекция импульса молекулы на ось ОХ меняется с mv1x = –mvx на mv2x = mvx.

Изменение импульса молекулы ΔP равняется удвоенному произведению массы молекулы на ее скорость:

Изменение импульса молекулы при ударе о стенку сосуда

Поскольку в каждом из шести основных направлений декартовой системы координат (вверх, вниз, вперед, назад, вправо, влево) движется одна шестая часть частиц N/6. Тогда число частиц, которые сталкиваются с каждой стенкой за время Δt равно:

Число частиц, которые сталкиваются с каждой стенкой за время Δt

S – площадь этой стенки

n - концентрация частиц


Давление p равно отношению силы F к площади S, на которую действует эта сила:

Давление равно отношению силы F к площади S, на которую действует эта сила

Суммарная сила, с которой частицы давят на стенку равна отношению произведения числа этих частиц N и изменения импульса ΔP ко времени, в течение которого происходит давление:

Сила через импульс

Исходя из вышенаписанного получаем:

Подставим число частиц

Тогда

Основное уравнение МКТ

Если заменить среднее значение кинетической энергии поступательного движения молекул - E:

Формула кинетической энергии

и подставить эту формулу в основное уравнение МКТ, получим давление идеального газа:

Формула для нахождения давления на стенки сосуда через кинетическую энергию

Давление идеального газа равняется двум третям средней кинетической энергии поступательного движения молекул на единицу объема. При решении задач реальный газ можно считать идеальным газом, если он одноатомный и можно пренебречь взаимодействием между частицами.

Понравилась статья, расскажите о ней друзьям: