Средняя линия трапеции: чему равна, свойства, доказательство теоремы

Средняя линия трапеции, а особенно ее свойства, очень часто используются в геометрии для решения задач и доказательства тех или иных теорем.

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого только 2 стороны параллельны друг другу. Параллельные стороны называют основаниями (на рисунке 1 - AD и BC), две другие – боковыми (на рисунке AB и CD).

Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон (на рисунке 1 - KL).

Свойства средней линии трапеции

  1. Длина средней линии равна половине суммы длин ее оснований:

    Формула для нахождения средней линии трапеции

  2. Средняя линия всегда параллельна ее основаниям.

Доказательство теоремы о средней линии трапеции

Доказать, что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований и параллельна этим основаниям.

Доказательство теоремы о средней линии трапеции, шаг 1

Дана трапеция ABCD со средней линией KL. Для доказательства рассматриваемых свойств требуется провести прямую через точки B и L. На рисунке 2 это прямая BQ. А также продолжить основание AD до пересечения с прямой BQ.

Рассмотрим полученные треугольники LBC и LQD:

  1. По определению средней линии KL точка L является серединой отрезка CD. Отсюда следует, что отрезки CL и LD равны.
  2. ∠ BLC = ∠ QLD, так как эти углы вертикальные.
  3. ∠ BCL = ∠ LDQ, так как эти углы накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей CD.

Доказательство теоремы о средней линии трапеции, шаг 2

Из этих 3 равенств следует, что рассмотренные ранее треугольники LBC и LQD равны по 1 стороне и двум прилежащим к ней углам (см. рис. 3). Следовательно, ∠ LBC = ∠ LQD, BC=DQ и самое главное - BL=LQ => KL, являющаяся средней линией трапеции ABCD, также является и средней линией треугольника ABQ. Согласно свойству средней линией треугольника ABQ получаем:

  1. KL = 1/2AQ = 1/2 (AD+DQ) = 1/2 (AD+BC)
  2. KL || AD по свойству средней линии треугольника. А так как AD || BC по определению трапеции, то KL || BC.

Для закрепления материала рекомендуем Вам просмотреть видео урок по данной теме:

Понравилась статья, расскажите о ней друзьям: