Средняя линия трапеции: чему равна, свойства, доказательство теоремы
Средняя линия трапеции, а особенно ее свойства, очень часто используются в геометрии для решения задач и доказательства тех или иных теорем.
Трапеция – это четырехугольник, у которого только 2 стороны параллельны друг другу. Параллельные стороны называют основаниями (на рисунке 1 - AD и BC), две другие – боковыми (на рисунке AB и CD).
Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон (на рисунке 1 - KL).
Свойства средней линии трапеции
- Длина средней линии равна половине суммы длин ее оснований:
- Средняя линия всегда параллельна ее основаниям.
Доказательство теоремы о средней линии трапеции
Доказать, что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований и параллельна этим основаниям.
Дана трапеция ABCD со средней линией KL. Для доказательства рассматриваемых свойств требуется провести прямую через точки B и L. На рисунке 2 это прямая BQ. А также продолжить основание AD до пересечения с прямой BQ.
Рассмотрим полученные треугольники LBC и LQD:
- По определению средней линии KL точка L является серединой отрезка CD. Отсюда следует, что отрезки CL и LD равны.
- ∠ BLC = ∠ QLD, так как эти углы вертикальные.
- ∠ BCL = ∠ LDQ, так как эти углы накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей CD.
Из этих 3 равенств следует, что рассмотренные ранее треугольники LBC и LQD равны по 1 стороне и двум прилежащим к ней углам (см. рис. 3). Следовательно, ∠ LBC = ∠ LQD, BC=DQ и самое главное - BL=LQ => KL, являющаяся средней линией трапеции ABCD, также является и средней линией треугольника ABQ. Согласно свойству средней линией треугольника ABQ получаем:
- KL = 1/2AQ = 1/2 (AD+DQ) = 1/2 (AD+BC)
- KL || AD по свойству средней линии треугольника. А так как AD || BC по определению трапеции, то KL || BC.
Для закрепления материала рекомендуем Вам просмотреть видео урок по данной теме:
Скорее всего, Вам будет интересно:
- Свойства прямоугольной трапеции
- Свойства вписанной в треугольник окружности
- Свойства медианы в прямоугольном треугольнике с доказательствами
- Первый признак равенства треугольников: формулировка и доказательство (7 класс)
- Третий признак равенства треугольников формулировка и доказательство
- Закон Кулона: формулировка, определение, формула
- Как найти область определения функции онлайн
- Основные положения молекулярно-кинетической теории (МКТ), формулы МКТ
- Уравнение состояния идеального газа Менделеева-Клапейрона с выводом
- Таблица прямых и обратных тригонометрических функций, онлайн калькулятор