Третий признак равенства треугольников формулировка и доказательство

Третий признак равенства треугольников и его доказательство (всех трех возможных случаев) будут подробно рассмотрены в данной статье.

Формулировка третьего признака равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Дано:

2 треугольника, АВС и А₁В₁С₁, AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, BC = B₁C₁

Требуется доказать, что треугольники АСВ и А₁В₁С₁ равны.

Доказательство

Для начала необходимо «наложить» данные треугольники друг на друга таким образом – чтобы точка А совпала с точкой А₁, точка В с точкой В₁, а точки С и С₁ оказались по разные стороны от прямой А₁В₁.

Три возможных случая при наложении треугольников

1. Луч С₁С расположен внутри угла А₁С₁В₁.

   

2. Луч С₁С накладывается на одну из сторон данного угла.

   

3. Луч С₁С расположен вне угла А₁С₁В₁.

   

Доказательства равенства треугольников для трех возможных случаев

Первый случай

Луч С₁С расположен внутри угла А₁С₁В₁.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники В₁С₁С и АС₁С.

   

2. По условию стороны АС=А₁С₁, ВС=В₁С₁, следовательно, треугольники В₁С₁С и А₁С₁С – равнобедренные.
3. Вспомнив, что углы при основании равнобедренных треугольников равны (свойство равнобедренного треугольника), получаем:
   ∠АСС₁ = ∠А₁С₁С,
   ∠ВСС₁ = ∠В₁С₁С.
4. Поскольку
   ∠ACB = ∠ACC₁ + ∠BCC₁,
   ∠AC1B = ∠AC₁C + ∠BC₁C,
   то и углы AСB и AС₁B равны.
5. 
   Так как ВС = В₁С₁, АС = А₁С₁ и ∠AСB = ∠AС₁B, можно утверждать, что треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать

Второй случай

Луч С₁С накладывается на одну из сторон этого угла.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник САС₁.

   

2. Согласно условию теоремы, в треугольнике САС₁ стороны АС и А₁С₁ равны, следовательно, сам треугольник САС₁ - равнобедренный.
3. По аналогии с доказательством первого случая (пункты 3-5): так как треугольник САС₁ равнобедренный, то углы при его основании (СС₁) равны, то есть ∠С = ∠С₁ . Отсюда следует, что треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны по двум сторонам и углу между ними.

Что и требовалось доказать.

Третий случай

Луч С₁С расположен вне угла А₁С₁В₁.

Доказательство:

1. Рассмотрим полученный треугольник ВСС₁.

   

2. По условию, стороны В₁С₁ и ВС – равны, следовательно, треугольник В₁С₁С – равнобедренный, а значит, что углы BСD и BС₁D равны.
3. Рассмотрим треугольник АСС₁.
4. Согласно условию, стороны АС и А₁С₁ – равны, отсюда следует, что треугольник АСС₁ – равнобедренный и углы при его основании равны (∠DC₁A = ∠DCA).
5. ∠DCA = ∠DCB + ∠ACB, а ∠DC₁A = ∠DC₁B + ∠AC₁B.
6. Поскольку ∠DC₁A = ∠DCA и ∠BСD = ∠BС₁D, то отсюда следует, что и углы ∠АСВ и ∠АС₁В равны.
7. Исходя из вышенаписанного можно сделать вывод, что треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны по двум сторонам и углу между ними.

Что и требовалось доказать.

Понравилась статья, расскажите о ней друзьям: